Аксонометрија

За уочавање сложених детаља неких предмета прикладно је применити просторни приказ који приказује тродимензионални предмет. Да би се објекти из тродимензионалног простора могли пројицирати на дводимензионалну равнину потребно  је бар једну просторну димензију приказати под неким углом. Такве врсте пројекције називају се аксонометријске пројекције.

Аксонометријским пројекцијама предмет се представља само једном сликом. У пракси се најчешће користе следеће врсте пројекција:

Коса пројекција

Перспективна пројекција

Диметријска пројекција

Изометрија

Аксонометрија (одмеравање по осама) је начин просторног приказивања тела.
Димензије  предмета  се  одмеравају  дуж  оса x, y и z.

Перспективни прикази дају највјернију, готово фотографску, слику неког објекта или предмета. Код перспективних цртежа паралене линије, које се удаљавају од проматрачева ока, цртају тако да се састају или спајају у тачки недогледа на линији хоризонта.

http://www.youtube.com/watch?v=7ZYBWA-ifEs&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=-KoYpvgSTg0&NR=1&feature=endscreen

http://www.youtube.com/watch?v=Eq02Z4N6ZfQ&feature=related

Диметријска пројекција

Диметрија у којој се једна бочна страница заокреће за угао од 7°, а друга за угао од 42°. Заокренуте странице ваља нацртати у дужини од 2/3 од њихових стварних вредности.

За ову врсту пројекције каже се да највише одговара оку посматрача, односно да у њој предмет има „најлепши“ изглед.

Изометрија у којој се обе бочне странице заокренуте за угао од 30°. Ова врста пројекције се највише користи за техничко цртање, јер је најпогоднија. Пошто су у њој сва скраћења страница због промене угла посматрања иста све димензије цртају се онолике колике и јесу.

Однос  димензија  по  осама  је  1:1:1  и углова  оса  x и y  са  хоризонталом  α =  30° и  β =30°.

Код изометријског приказа све паралелне странице у простору остају таквима и на цртежу.

Коса пројекција у којој се једна бочна странице предмета заокреће за угао од 45°.

Да би предмет имао реална изглед заокренуте странице цртају се у половини стварних вредности.

Коса пројекција је начин просторног приказивања тела који се после изометрије, најчешће примењује. Код косе пројекције цела једна површина (висина, ширина) црта се у правој величини док се трећа димензија црта скраћено, у зависности од угла под којим је извучена.

Хоризонтална изометричка пројекција. Угао нагиба осе y’ је под 30°, али може бити 45° или 60°. Овде нема скраћења по осама. Угао између оса x’ и y’ мора бити 90°.

Фронтална изометричка пројекција. Угао нагиба осе y’ је раван 45°, а може бити и 30°и 60°. Овде нема скраћења по осама.

Тела нацртана аксонометријски или у косој пројекцији послужиће нам даље уместо модела за њихово приказивање ортогонаслним пројекцијама.

Advertisements

Поступци приказивања тела на цртежу

Свако се тело може приказати просторно или у равни. Просторно приказивање тела је приказ у изгледу помоћу све три димензије.

На слици а) тело је приказано просторно, на слици     б) у равни и на слици     ц) приказан је бочни изглед тела.

Различити просторни прикази истог објекта: а) ортогонална пројекција, б) изометријска пројекција, ц) диметријска пројекција.

РОТАЦИЈА

  Поступак ротације користимо за одређивање праве величине дужи. Овим поступком тачка, права или тело се окрећу око замишљене праве –осе ротације.Приликом ротације свака тачка тела се обрне за исти угао и креће се по кружници која је у равни управној на осу ротациле, а центар те кружнице је продор осе кроз раван.
Права величина дужи која је у произвољном положају према H и F одређује се ротацијом око праве која је управна на једну од пројекцијских равни.
Дуж се ротира док не дође у положај да је паралелна са једном пројекцијском равни.
Кроз тачку В се поставља оса ротације.С-је центар ротације средиште.
Ротација се врши око праве р .
Права величина дужи АВ, се одређује тако што се кроз (једну) тачку (В)постави вертикална права – оса ротације која је управна на Н а поклапа се са В`,где се налази и прва пројекција С` средишта С. Кружница К, коју описује тачка А, у првој пројекцији К`, види се у правој величини док је у другој пројекцијиК„ хоризонтална дуж.Права величина дужи је А0„В„. Овај задатак има два решења.

Раван, трагови равни

    Раван представља неограничену равну површину, коју одређују три тачке које леже на једној правој.Кроз њих се могу поставити две паралелне праве, две праве које се секу или се раван представља помоћу праве и тачке ван ње.

Пресек две равни је права.

     Раван Т и пројекцијске равни H,Fи P се секу на правама које називамо трагови равни.

             Пресек равни Т са хоризонталницом Н назива се први траг  t1

             Пресек равни Т са фронталницом F назива се други траг  t2

             Пресек равни Т са профилницом Р назива се трећи траг  t3.

Трагови равниТ секу се у тачкама Т x,Т y и Тz које се налазе на осам   и називају се осни трагови.

Специјални положаји равни :

–          управан на хоризонталницу,

–          управан на фронталницу и

–          управан на профилницу.

Тачка и права у равни

Права сече трагове равни у тачкам продора  Р1 и Р2 (с. 4.24)
Праве које леже у датој равни Т, а у специјалном положају су према пројакцијским равним, називају се  сутражнице равни или паралеле.
        Права у равни Т која има највећи нагиб према хоризонталници се назива прва нагибница (g1 )
        Права у равни  Т која има највећи нагиб према  фронталници се назива друга нагибница (g2)
        Права у равни Т која  има највећи нагиб према  профлници  се назива трећа нагибница (g3 )

 Дефинисање међусобног пресека две равни
       Две равни α и β  секу се по правој линији,пресечници p. Одређивање пресечнице :
           –   Први трагови α1 и β1  равни α и β налазе се у истој равни у хоризонталници Н, и секу се у тачки 1.
            –  Други трагови α2 и β2  се налазе у фронталници  и секу се у тачки 2.
 Прва пројекција p’  пресечнице p одређује се спајањем 1’ и 2’.
 Друга пројекција p” се добија спајањем других пројекција 1” и 2”.

Продор праве кроз раван

           Продор праве а кроз раван Т се одређује на следећи начин :

кроз праву се постави раван ,која је у једном од специјалних положаја.Пресек праве а и добијене пресечнице р је продор праве а кроз раван Т.

Услучају да права а има само једну заједничку тачку са равни Т ,та тачка је тачка продора праве кроз раван.Ако се тачка продора налази у бесконачности , тада је права паралелна са равни Т.

Одредити продор праве кроз раван  ако је  α (6;4;4)

                                                                   а:   А (1;1,5;1)

                                                                         В (5;5;5)

 

 

ПРОЈЕКЦИЈА ДУЖИ

Ако је у простору дата произвољна права , њене пројекције на хоризонталницу и фронталницу су скуп истоимених пројекција свих тачака те праве.
Ако се кроз сваку тачку праве а повуку пројекцијски зраци који су управни на хоризонталницу и фронталницу, добијају се равни које су управне на ове равни- то су зрачне равни.
Пресек прве зрачне равни са H  је права а`тј. прва пројекција праве а.
Друга зрачна раван је управна на F и њихов пресек је права а„-друга пројекција праве.
Трећа пројекција а„ се добија у пресеку треће зрачне равни праве а са профилницом.
Положај праве у равни је одређен помоћу две тачке.Праве повучене кроз пројекције тачака А`и B`;A„и B„; A„` и  B„`  дају пројекцију праве а`,а„иа„.
Пројицирање дужине на две равни
а)Дужина је паралелна с равни π1 и π2

Дужина AB је паралелна са равнином π1 и π2 . Обе пројекције АB`л и A„B„ једнаке су дужине као AB .
б) Дужина је паралелна с равнином π1 а нормална на равнину π2

Дужина АB се у равнини π1 пројицира као дужина једнаке величина јер је с њом паралелна,а у равнини π2 као тачка јер је на њу окомита.
ц) Дужина је паралелна с равнином π2 а нормална на равнину π1

Дужина АБ се у равни  π2 пројицира као дужина једнаке величина јер је с њом паралелна,а у равнини π1 као тачка јер је на њу нормална.
д) Дужина је паралелна с равнином π1, а коса према π2

Дужина АБ се у равнини π1 пројицира као дужина једнаке величина јер је с њом паралелна,а равнини π2 њена је пројекција краћа од АБ.

Пројицирање на три равнине

При пројицирању неких тела често нису довољне само две равни пројицирања, већ је потребне и трећа. То у првом реду важи за сложена и несиметрична тјела.

 Пројицирање дужине нормалне на раванП1Пројицирање дужине нормалне на равну П1

Пројицирање дужине нормалне на равнину П2

Пројицирање дужи нормалне на раван П3

Пројицирање дужине паралелне с равнином П2, а косе у односу на равнине П1 и П3

Пројицирање дужине паралелне с равнином П3, а косе у односу на равнине П1 и П2

 

ПРОЈЕКЦИЈА ТАЧКЕ НА РАВНИ

Све геометријске фигуре у простору састоје се од тачака. Да би знали пројицирати и приказати у равни слике неке фигуре, потребно је прво знати пројицирати тачку.
Свака тачка у простору је одређена координатама x, y и z.
Прву пројекцију тачке одређују координате x и y и она се оzначава са прим (пр. А’)
Другу пројекцију тачке  одређују координате x и z и она се оzначава са секунд  (пр. А”)
Трећу пројекцију тачке  одређују координате y и z и она се оzначава са терца  (пр. А”’)      
Прим можемо читати као прво, секунд као друго и терца као треће.

Пример:

Тачка М’ назива се прва пројекција тачке М.
Тачка М„ назива се друга пројекција тачке М.
Равнина π1 је равнина прве пројекције
Равнина π2 је равнина друге пројекције

Видео запис пројекције тачке овде.

Пројекције тачке у склопу и расклопу.

Координатне тачке показују колико је тачка удаљена од пројекцијских равни.
Тачка А је изнад хоризонталнице Н за величину дужи АА`(z) испред фронталнице за величину дужи АА„(y), а лево од профилнице за величину дужи АА„(z).
Одстојање тачка А од Н је једнако дужини А`Аx за дати примерА`Аx=3cm
Одстојање тачка А од F је једнако дужини А`Аy=2cm
Одстојање тачка А од P је једнако дужини А`Аz=3cm.
У пројекцијама А`Аx и А„Аx су на истој нормали тако да су прва и друга пројекција увек на једној правој која се назива спона или ординала.
Друга и трећа су увек на правој која је управна на z-осу.
 Пројекција тачке  а) цртеж у простору
                             б) тачка у расклопу или пројекцијама
                             в) тачка у расклопу или пројекцијама без оквира H,F и P.

ДОМАЋИ ЗАДАТАК

1. Нацртати у склопу и расклопу ортогоналне пројекције тачке А, чије су координате     А( 30, 40,20). Мере су дате у милиметрима.

Орјентација у простору – КВАДРАНТИ И ОКТАНТИ

Хоризонталница(Н)  дели простор на два дела онај који је изнад и који је испод хоризонталнице .Фронталница (F) или вертикална (V) раван такође  дели простор на два дела , онај који је испред и који је иза  (F).Aко се ове две равни узму заједно , оне ће целокупни простор поделити на четири дела , који се називају квадранти и обележавају се римским бројевима  I,II,III,IV.

По договору  I квадрант је онај који се налази изнад хоризонталнице а испред фронталнице, други је изнад Hи из F и др.

За приказивање положаја у простору потребно је увести трећу раван профилну ( Р), која је управна на F и H .Профилница дели простор , који је омеђен  H и F, на укупно осам делова- октаната

Квадранти

Октанти

Међусобан однос равни P1  P2  P3

На слици је приказан 5. просторни октант са правилним распоредом равнина π1,π2 и π3 за приказивање, тј. цртање објеката које замишљамо да се налазе у 5. просторном октанту:

Основна правила ортогоналног пројицирања:
-предмет се налази између равни пројицирања и цртача
-зраке пројицирања су нормалан на равни пројекције (цртања)
-пројекција представља цртежоног дела предмета који се види у смеру гледања

ПОЈАМ И ВРСТЕ ПРОЈИЦИРАЊА

ПОЈАМ Пројицирање
Пројицирати значи приказати тaчку, дужину, лик или тело у једној равнини.
Слика пројициране тачке, дужине, лика или предмета зове се пројекција.
Свако тело има три димензије дужину,висину, и ширину, помоћу пројекција приказујемо међусобне просторне односе геометријских ликова неког тела у једној равнини. Пројекције тих ликова на папиру имају само дје димензије:ширину и висину.

Врсте пројицирање
Разликујемо две врсте пројецирања:
 —  Централно пројицирање
Кад сви зраци пројицирања иду из или од исте тачке 0, која је на неком растојању онда се пројекција предмета на равнини П назива ценлралном пројекцијом.

 Паралелно (ортогондлно) пројицирање
– паралелно косо пројицирање
Ако су зраци пројецирања под углом у односу на раван П пројекција је коса

погледај вдео запис овде

  — – паралелно правоугло пројицирање
Ако су зраци пројецирања нормалан на раван П пројекције пеојекција је правоугла

Увод

Увод

Нацртна геометрија

Нацртна геометрија је настала крајем 18. века. Њен творац је француски математичар и инжењер Гаспард Монге (Гаспар Монж) који је живео од 1746. – 1818. год. Монж је своју прву Нацртну геометрију («Геометрие десцриптиве») објавио 1789.г. у којој се налази поступак ортогоналног пројицирања и општи метод за решавање стереометријских задатака конструктивним поступцима.

Нацртна геометрија је наука која се бави проучавањем конструктивно-геометријских поступака за извођење и представљање (приказивање) тродимензионалног простора тј. просторних тродимензионалних геометријских форми и њихових међусобних односа, на дводимензионалној равни – цртежу.

Циљ изучавања нацртне геометрије је да код полазника – читаоца развије способност логичког размишљања, визуелног сагледавања тродимензионалног простора и да развија способност замишљања (имагинације).

Дакле, Нацртна геометрија омогућава приказивање или представљање тродимензионалног простора на дводимензионалној равни цртежу – листу хартије. Исто тако, она омогућава да се са цртежа (листа хартије) , који има само две димензије , може да створи тродимензионална (просторна) представа о објекту који је приказан на цртежу. То значи, да цртајући у две димензије, цртеже треба сагледавати тродимензионално, с обзиром да се не може цртати по простору, мада са појавом компјутера постоје програми у којима је могуће тродимензионално моделовање, али пројекције тих тродимензионалних модела се опет на екрану виде као дводимензионалне слике.

Решавање задатака у Нацртној геометрији се изводи графичким конструисањем – цртањем, које због тога мора да буде тачно и прецизно. Цртеж увек треба да буде једноставан, прегледан и јасан, да би са њега могао да се ’’прочита’’ и сагледа приказани објекат. Иако се нацртна геометрија највише користи за решавање практичних проблема у техници, инжењерству, картографији, фотограметрији, астрономији, дизајну, сликарству, итд. она може да се користи и за изучавање и развој многих грана примењене математике и физике.

Нацртна геометрија може да се изводи:

– на класичан начин – конструисањем цртежа на хартији помоћу оловке, троуглова, лењира и шестара.

– на компјутеру у одговарајућим корисничким програмима за цртање ЦАД или ЦАГД – цомпутер аидид десигн или цомпутер аидид геометриц десигн.

Ако се Нацртна геометрија изводи на класичан начин могуће је тродимензионални геометријски простор конструктивно обрађивати и приказивати у различитим пројекцијама али само на дводимензионалној равни цртежу.

Међутим, уколико се Нацртна геометрија обрађује компјутером у неком графичком компјутерском програму, тродимензионални геометријски простор је могуће конструктивно обрађивати и приказивати и у дводимензионалном простору –

Геометријске конструкције

Геометријске конструкције

Геометријском конструкцијом називамо скуп операција које се могу извести помоћу лењира и шестара.

Шта све морате поновити и знати?

Цртање паралелних линија помоћу троугла

Цртање нормале помоћу троугла

Конструкција симетрале дужи

 Из тачака које дефинишу дуж А и В описујемо ка центру два кружна лука истог полупречника  r>AB/2 и кроз њихове пресечне тачке  нацртати симетралу.

Конструкција симетрале  угла

Из центра О описујемо кружни лук који сече краке угла у тачкама А и В., спајањем тих тачака добијамо дуж чија је симетрала уједно и симетрала угла.

Конструкција нормале на праву кроз задату тачку

Прво око задате тачке Т опишемо произвољну кружницу која сиече задату праву p. Затим  из пресечних тачака опишемо кружнице једнаких полупречника. Спојимо пресечне тачке кругова и добијемо нормалу на праву p из тачке Т.

  тачка нан дужи

   тачка на дужи

Конструкција кружног лука кроз три  дате тачке

Тачке А и В и тачке В и С спојимо па затим конструишемо симетрале дужи АВ и ВС.У пресечној тачки симетрала дужи АВ и ВС налази се центар кружног лука ( О).

Тангента кружнице у тацчки кружнице

Тангента је правац који с кружницом има једну заједничку тачку. Тангента је увек нормална на полупречник кружнице у додирној тачки.

Подела дужи АВ на N једнаких делова.

Из тачке А повлачимо полуправу под произвољним углом са дужи АВ .На полуправу шестаром нанесемо N једнаких делова.Спајамо крајњу тачку полуправе са тачком В, а затим повлачимо паралелне праве кроз деоне тачке .На дужи АВ добићемо одговарајући број једнаких делова.

Тангента кружнице из тачке ван кружнице

Цртање заједничке спољашње тангенте 

 Из центра веће кружнице описујемо помоћну кружницу  полупречника R=R1-R2. Затим конструишемо помоћне тангенте из центра О2.Из тачке О1  повлачимо полуправу која пролази кроз претходно  добијене тачке А и В. Полуправа сече кружницу и тачкама С и D.Тачке Е и F добијамо повлачењем дужи O2E  која је паралелна са O1C,односно  O2F која је паралелна са  O1В.   Спољашње тангенте пролазе кроз тачке С и D односно Е и F.

Цртање заједничке унутрашње тангенте 

 Поступак конструкције је исти , само је полупречник помоћне кружнице R=R1+R2

Спајање правих линија луком датог полупречника

Спајање се изводи помоћу две помоћне праве паралелне са датим линијама на растојању R .Из пресека помоћних правих О повлачимо нормале на дате праве, из добијених тачака А и В праве прелазе у лук полупречника R којим треба спојити ове тачке.

   оштар угао

туп угау